数学过边长为1的正方形的ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD

发布时间:2021-04-03 00:49 平面 边长 正方形

过边长为1的正方形的AB的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若PA=1,求平面ADP与平面BCD所成的二面角。

数学过边长为1的正方形的ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD

题目有点问题,从以下三个角中选你所要求的吧!

数学过边长为1的正方形的ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD

如下图所示,设M为PD的中点,作MN∥DC交PC于N. ∵ PA⊥面ABCD,CD⊥AD,由三垂线逆定理,CD⊥PD,∴ MN⊥PD,∴ ∠AMN=α是面ADP与平面PCD所成的二面角的平面角.MN=1/2,AM=1/√2,AN=PA*AC/PC=

√2/√3,由余弦定理,得cosα=√2/12.

若是求面ADP与平面PBD所成二面角,则更容易了. ∵ PA⊥面ABCD,

BD⊥AC,由三垂线逆定理,BD⊥PO,∴ ∠POA=β是面ADP与平面PBD所成的二面角的平面角.易得β=arctan(PA/AO)=arctan√2.

若是求面ADP与平面PCB所成二面角,则作PQ∥BC,则PB⊥PQ,PA⊥PQ,∠APB=45°就是面ADP与平面PBC所成的二面角的平面角.

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